Procedía del Sportivo Luqueño, aunque ya tenía experiencias europeas con pasos por Génova y Padova. En sus dos temporadas en Las Palmas anotó 12 goles, todos en Primera, para un total de 54 encuentros oficiales.

Llegó a la isla con 24 años de edad y una ya rica experiencia internacional al haber disputado entonces 23 partidos con la selección de su país.

El fichaje de Parodi se fraguó mientras la UD Las Palmas estaba de gira estival, en 1958, por Caracas (Venezuela). Las gestiones fueron realizadas por García Panasco, secretario general, aunque se recibieron informes satisfactorios sobre el futbolista paraguayo de varios técnicos nacionales de prestigio consultados por el club isleño.

En aquel momento, apenas nueve años después del nacimiento del club, se consideró una ‘noticia bomba’ para toda la afición grancanaria. 
Parodi llegó así a la UD Las Palmas aún con la condición de mundialista reciente y ese rastro previo. Distinto a Molowny y Alfonso Silva, que jugaron con España en Brasil 1950, siete años antes de incorporarse al club grancanario.